조건부 확률

Q. 조건부 확률이란 무엇일까요?

 

 

조건부 확률(conditional probability)이란 사건 B가 일어났을 때, 사건 A가 일어날 확률을 의미하며,

수식으로 나타내면 다음과 같다.

$$ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \quad (P(B) > 0)$$

또는

$$P(A\cap B) = P(A|B)P(B)$$

 

조건부 확률의 개념은 비교적 간단한데,

그렇다면 두 사건의 관계에 따라 조건부 확률을 구하는 방법에는 어떠한 차이가 있는지 추가적으로 알아보고자 한다.

 

두 사건의 관계에는 크게 종속(dependent)과 독립(independent)이 있으며,

이에 따라 조건부 확률을 구하는 식에도 차이가 있다.

 

종속(dependent) 사건은 사건 A의 발생 여부가 사건 B의 발생 여부에 대한 정보를 제공, 즉 영향을 미치는 것을 말한다.

가령, 사건 A는 '오늘 비가 오는 경우', 사건 B는 '이틀 연속(오늘&내일) 비가 오는 경우'라고 한다면,

사건 A의 발생이 사건 B의 발생에 영향을 미치므로 두 사건은 종속 사건이라고 할 수 있다.

 

사건 A, B가 종속이면 사건 B에 대한 A의 조건부 확률은

$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

이다.

 

즉, 위의 식에서 알 수 있듯이 종속일 경우 사건 A의 발생에 사건 B의 발생 여부가 영향을 미친다.

 

 

독립(independent) 사건은 사건 A의 발생 여부가 사건 B의 발생 여부에 영향을 미치지 않는 것을 말한다.

주사위를 2번 던지는 실험에서 사건 A는 '첫 번째 시행에서 5의 눈이 나오는 경우', 사건 B는 '두 번째 시행에서 3의 눈이 나오는 경우'라고 한다면,

첫 번째에서 눈이 무엇이 나오든간에 두 번째 시행의 결과에 영향을 미치지 않으므로

두 사건은 독립 사건이라고 할 수 있다.

 

사건 A, B가 독립이면 두 사건의 교집합은 다음과 같다.

$$ P(A\cap B) = P(A)P(B)$$

그러므로, 사건 B에 대한 사건 A의 조건부 확률은 다음과 같다.

$$P(A|B) = P(A)$$

 

위의 식에서 알 수 있듯이 독립일 경우에는 사건 A의 발생에 사건 B의 발생 여부는 영향을 미치지 않는다.

 

 

요약하자면,

조건부 확률은 사건 A가 일어났을 때 다른 사건 B가 일어날 확률을 의미하며 두 사건이 모두 일어날 확률을 사건 A가 일어날 확률로 나눈 값이다.

만약 두 사건이 종속 관계라면 위의 수식이 유지되며,

두 사건이 독립 관계일 경우 두 사건 모두 일어날 확률은 두 사건이 일어날 확률 각각의 곱과 같으므로 사건 A에 대해 사건 B가 발생할 조건부 확률은 사건 B의 발생 확률과 같다.

 

 

References

- https://datascienceschool.net/02%20mathematics/06.05%20%EA%B2%B0%ED%95%A9%ED%99%95%EB%A5%A0%EA%B3%BC%20%EC%A1%B0%EA%B1%B4%EB%B6%80%ED%99%95%EB%A5%A0.html