조건부 확률이란?

Q. 조건부 확률은 무엇일까요? 

결합확률

• 조건부 확률에 대해 공부하기 전에 결합확률에 대해 먼저 알아보자.
• 결합확률은 사건 A와 사건 B가 동시에 발생할 확률을 뜻한다. 즉, 사건 A와 사건 B가 모두 진실로, 두 사건의 교집합 확률을 구하는 것이다.
• P(A∩B) or P(A, B)
• 서로 결합되지 않는 개별 사건의 확률 P(A) 또는 P(B)는 주변확률이라 한다.

 

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조건부확률

• 사건 B가 사실일 경우의 사건 A에 대한 확률을 사건 B에 대한 사건 A의 조건부 확률 (conditional probability)이라고 한다.
• P(A | B)는 P(B)가 1일 때 새로운 P(A)라고 볼 수 있다.
• P(A | B) = P(A, B) / P(B) 로 표기한다.

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• 예를 들어, 아래와 같은 상황에서 범인을 찾는다고 생각해보자.
  • 20명의 용의자 중, 12명의 남자와 8명의 여자가 있다고 가정한다.
  • 이 중 머리카락이 긴 사람은 10명, 머리카락이 짧은 사람도 마찬가지로 10명이 있다.
• 사건의 확률은 다음과 같이 가정한다.
  • P(A): 범인이 남자일 확률
  • P(B): 범인이 머리카락이 길 확률

• 범인이 남자일 확률은 P(A) = 0.6, 범인이 머리카락이 길 확률은 P(B) = 0.5로 표현할 수 있다.
• 조건부 확률 P(A|B)는 범인이 머리카락이 길다는 사실을 알게 되었을 때 갱신된 범인이 남자일 확률이라 하자.
• 머리카락이 긴 남자의 수에 따라, 조건부 확률값은 어떻게 변할까?

 

• 먼저 머리카락이 긴 남자가 3명이라면,
  • P(A|B) = P(A, B) / P(B) = (3/20) / (10/20) = 3/10
  • 범인의 머리카락이 길다는 정보를 통해 남자가 범인일 확률이 절반으로 떨어지게 된다.
• 만약 머리카락이 긴 남자가 6명이라면,
  • P(A|B) = P(A, B) / P(B) = (6/20) / (10/20) = 6/10
  • 이 경우 새로운 정보 (사건 B)가 주어지든, 주어지지 않든 남자가 범인일 확률이 달라지지 않는다.
  • 따라서, 이 경우 사건 A와 사건 B가 서로 독립이다.

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• 독립이란?
  • 추가적으로 수학에서의 독립이란,  P(A, B) = P(A)P(B)가 성립할 때 두 사건 A와 B가 서로 독립이라 한다.
  • 독립인 경우, 조건부확률과 원래의 확률이 동일하며 사건 B의 유무가 사건 A에 영향을 주지 않는다.

 

 

Summary

• 사건 A와 B가 있을 때, 사건 B가 사실일 경우 사건 A에 대한 확률을 사건 B에 대한 A의 조건부확률이라 말하며, P(A|B) = P(A, B) / P(B)로 표기할 수 있다. 추가적으로 사건 A와 B가 서로 독립인 경우 사건 B에 대한 A의 조건부 확률과 원래의 확률 P(A)가 동일하며 사건 B의 유무가 사건 A에 영향을 주지 않는다.

 

 

Reference) https://datascienceschool.net/02%20mathematics/06.05%20%EA%B2%B0%ED%95%A9%ED%99%95%EB%A5%A0%EA%B3%BC%20%EC%A1%B0%EA%B1%B4%EB%B6%80%ED%99%95%EB%A5%A0.html