고유값과 고유 벡터에 대한 설명과 중요성

In linear algebra, an eigenvector (/ˈaɪɡənˌvɛktər/) or characteristic vector of a linear transformation is a nonzero vector that changes at most by a scalar factor when that linear transformation is applied to it. The corresponding eigenvalue, often denoted by λ

, is the factor by which the eigenvector is scaled.

Geometrically, an eigenvector, corresponding to a real nonzero eigenvalue, points in a direction in which it is stretched by the transformation and the eigenvalue is the factor by which it is stretched. If the eigenvalue is negative, the direction is reversed.[1] Loosely speaking, in a multidimensional vector space, the eigenvector is not rotated.

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors

Eigenvalues and eigenvectors - Wikipedia

 

위키피디아 나온 고유값과 고유벡터에 대한 정의는 다음과 같다.

"선형대수학에서 선형 변환의 고유 벡터는 선형 변환 적용 시 스칼라 값을 통해 변화하는 0이 아닌 벡터이고, 그에 상응하는 고유값은 고유 벡터의 크기를 변화시키는 요소이다." 

 

벡터는 방향과 크기를 가진 유향 성분이다. 그리고 벡터에 선형변환을 한다는 것은 선형성을 유지하면서 다른 벡터 공간으로 이동시킨다는 뜻이고, 다른 벡터공간으로 이동시킨다는 것은 벡터의 방향 또는 크기를 바꾼다는 뜻이다. 그리고 선형변환 함수는 정방행렬로 표현한다. 행렬과 벡터의 곱을 하게 되면 선형변환이 이루어진다. 이때 고유벡터와 고유값은, 선형변환 행렬에 곱했을 때 방향이 바뀌지 않고 크기만 바뀌는 사상이 되는 벡터를 고유벡터라고 하고, 그 고유벡터가 사상됐을 때 변화하는 크기를 스케일링해주는 상수 인자가 고유값이라고 한다.

 

행렬 A에 대한 고유값과 고유벡터를 나타내는 식은 다음과 같다.

Ax = λx

이때 x가 고유벡터이고, λ가 고유값이 된다. 

 

통계 면접이나 데이터분석 면접 등에서 고유벡터와 고유값의 정의에 대한 질문을 받는다면

"정방행렬로 표현되는 선형변환 행렬로 어떤 벡터를 사상했을 때 그 벡터의 방향이 변화하지 않고 크기만 변화한다면 해당 벡터를 고유벡터라하고, 바뀐 크기를 조절해주는 인자를 고유값이라고 합니다"

라고 답변한다면 될 것 같다. 

 

 

고유벡터와 고유값은 특히 머신러닝 분야에서 PCA 혹은 클러스터링 알고리즘 등에 사용되기 때문에 중요하다고 할 수 있다.