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누적 분포 함수와 확률 밀도 함수

김랑명 2023. 1. 22. 18:28
누적 분포 함수와 확률 밀도 함수는 무엇일까요? 수식과 함께 표현해주세요

 

누적분포함수와 확률밀도 함수는

'확률 변수'의 분포인 '확률 분포'를 수학적으로 정의하기 위한 수식이다.

 

1. 확률변수(Random Variable)

정의역을 표본공간으로 갖고, 치역을 실수값으로 갖는 함수

=> 확률 값을 가지는 변수

 

2. 확률 분포(Probability Distribution)

정의역을 확률변수로 하고, 치역을 확률로 갖는 함수

=> 확률이 흩어져 있는 것을 확률분포라고 함.

 

3. 누적분포함수(Cumulatice Distribution Function, CDF)

누적분포함수는 어떤 확률 분포에 대해서 확률 변수가 특정값보다 작거나 같은 확률을 나타냄

4. 확률밀도함수(=연속확률분포, Probability Ddensity Function, PDF)

연속적인 변수에 대한 확률 분포 함수로, 특정 구간의 확률을 나타내는 함수로 특정 확률변수의 크기(넓이)를 나타낸다.  연속확률변수 x에 대해서 F(x)가 누적분포함수일 때 x의 확률밀도함수 f(x)는 아래와 같이 정의한다.

이 때 x를 연속확률변수라고 하고 f(x)를 확률 밀도 함수라고 한다.

 

확률 밀도 함수의 경우 아래 두가지 특징을 가진다.

1) 항상 양의 값을 가져야 한다.

2) 모든 범위의 PDF를 합하면 1이다. 

정의된 범위 내에서의 확률은 범위내의 pdf 영역 넓이(적분값)가 된다. 

 

5. CDF와 PDF의 관계

CDF를 미분하면 PDF, 반대로 PDF를 적분하면 CDF가 된다.

 

Reference